Окружности на решетках и матрицы максимума детерминанта
Ключевые слова:
точки Гаусса, проблема Гаусса, параболоид на решетке, ортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы максимального детерминанта, бициклические матрицы с каймойАннотация
Введение: гипотеза Адамара о существовании матриц максимума детерминанта порядков, кратных четырем, тесно связана с проблемой Гаусса о числе точек с целыми координатами (точек на решетке Z3) на сфероиде, конусе, параболоиде или параболе. Расположение точек Гаусса диктует количество и виды экстремальных матриц. Цель: выявить связь точек Гаусса на сечениях тел вращения с количеством и видами матриц максимума детерминанта с фиксированной структурой для нечетных порядков. Определить точную верхнюю границу значений максимумов детерминанта для бициклических матриц с каймой и порядки их превалирования над более простыми циклическими структурами. Результаты: приведена формула, уточняющая излишне оптимистическую границу Элича — Войтаса на случай матриц фиксированной структуры. Показана особая роль чисел Ферма для порядков 4t +1. Показано влияние чисел Барбы на формирование классов матриц максимального детерминанта, занимающих последовательно сменяющие друг друга области порядков 4t +3. Для бициклической структуры с каймой приведена оценка 67 для максимального порядка, на
котором наблюдается оптимальное симметричное решение, и доказано превосходство детерминанта блочных матриц с каймой над детерминантами циклических матриц везде, за исключением особого 39-го порядка. Практическая значимость: связанные с точками решетки матрицы максимального для фиксированной структуры детерминанта имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.
