Матричные витражи и регулярные матрицы Адамара
Ключевые слова:
ортогональные матрицы, регулярные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Мерсенна, матрицы Зейделя, кронекерово произведение, алгоритм Скарпи, вставки матриц, матричные витражиАннотация
Введение: кронекерово произведение матриц Адамара, когда одна матрица порядка n вставляется по месту каждого элемента другой матрицы порядка m, наследуя знак замещаемого элемента, рассматривается как основа получения этих ортогональных матриц порядка nm. Операция вставки, наследующая не только знаки, но и структурные элементы – орнаменты портретов матриц, рассматривается как операция создания витража – более общего результата. Витражи на базе типичных квазиортогональных матриц Мерсенна (М), Зейделя (S), Эйлера (Е) и других, помимо наследования знака и орнамента (узора), иначе наследуют значение отличных от единицы (по амплитуде) элементов, вызывая необходимость пересмотреть и систематизировать накопленный опыт. Цель: описать новые алгоритмы обобщенного произведения матриц, выделяя конструкции, ведущие к регулярным матрицам Адамара высоких порядков. Результаты: предложен алгоритм получения матричных витражей вставкой матриц Мерсенна в матрицы Зейделя, позволяющий расширить аддитивные цепочки матриц вида M-E-M-E-… и S-E-M-E-…, получаемые удвоениями порядков и добавлением каймы. Операция формирования матричного витража позволяет получать матрицы высоких порядков с сохранением такого важного инварианта структуры, как орнамент. Показано, что формирование матричного витража наследует логику произведения Скарпи, но не сводится к ней, поскольку ненулевое расстояние между сомножителями M и S по порядку упрощает итоговый орнамент регулярной матрицы отсутствием циклических смещений. Чередование матриц M и S позволяет продолжить мультипликативные цепочки до известных пробелов в матрицах S. Это по-новому освещает теорию регулярных матриц Адамара как результатов произведения матриц Мерсенна и Зейделя. Практическая значимость: ортогональные последовательности с плавающими уровнями и алгоритмы эффективного нахождения регулярных матриц Адамара, выделенных рядом полезных свойств, имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.
