Критские матрицы Одина и Тени, сопровождающие простые числа и их степени

Аннотация

Введение: критские матрицы – ортогональные матрицы, состоящие из элементов 1 и –b (вещественное число), представляют собой идеальный объект для наглядного приложения конечномерной математики. К ним относятся, в частности, матрицы Адамара и, при расширении числа элементов, конференц-матрицы. Наиболее удобный аппарат исследования состоит в привлечении теории полей и мультипликативных групп Галуа, что особенно актуально для новых типов критских матриц. Цель: изучить симметрии критских матриц и исследовать два выделенных симметриями новых типа матриц нечетного и четного порядков соответственно, существенно отличающихся от ранее известных матриц Мерсенна, Эйлера и Ферма. Результаты: приведены формулы для значений элементов и описаны симметрии новых критских матриц: бициклов Одина (с каймой) порядков 4t – 1 и 4t – 3 и матриц Тени порядков 4t – 2 и 4t – 4. Для нечетных порядков матриц, равных простым числам и степеням простых чисел характеристических размеров, доказано существование симметрий особых типов этих матриц, двоякосимметричных, состоящих из кососимметричного (по знакам элементов) и симметричного циклических блоков. Показано, что ранее выделенные критские матрицы Мерсенна порядков 4t – 1 и Эйлера порядков 4t – 2 являются их частным случаем, существующим при отсутствии симметрии для всех выделенных порядков без исключения. Практическая значимость: ортогональные последовательности и методы их эффективного нахождения теорией конечных полей и групп имеют непосредственное практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.