Максимум детерминанта бициклических матриц с каймой
Ключевые слова:
Точки Гаусса, проблема Гаусса, параболоид на решетке, ортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы максимального детерминанта, бициклические матрицы с каймойАннотация
Введение: матрицы максимального детерминанта хорошо известны и исследованы для четных порядков 2t и 4t, где их структура чаще всего бициклическая, которую называют адамаровой в случае деления порядка на 4. Нечетные порядки исследованы значительно меньше в силу того, что сложность структуры оптимальных матриц неограниченно возрастает. Цель: заменить заведомо сложный объект гиперобъектом, состоящим из бициклической матрицы с каймой, оптимальным на множестве матриц такой фиксированной структуры. Выявить связь точек Гаусса на сечениях тел вращения с количеством и видами матриц максимума детерминанта с фиксированной структурой для нечетных порядков. Определить верхнюю и нижнюю границы значений максимумов детерминанта для бициклических матриц с каймой. Результаты: уточнена излишне оптимистическая граница Элича — Войтаса на случай матриц фиксированной структуры для порядков 4t + 1 (адамариды) и 4t – 1 (мерсенниды). Кроме границ снизу и сверху приведены более близкие к значениям детерминантов экстремальных матиц кусочно-гладкие квадратичные аппроксимации. Приведены алгоритмы углубленного поиска матриц расширенного семейства Адамара с использованием орбит и компрессий бинарных последовательностей, а также результаты поиска, подтверждающие приведенные оценки границ. Практическая значимость: матрицы максимального детерминанта имеют практическое значение для задач помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации.
