Об одном методе нелинейного программирования с произвольными ограничениями

Аннотация

Введение: при решении современных задач в областях моделирования и идентификации нелинейных и нестационарных систем, а также при анализе и фильтрации данных экспериментов все большее распространение получают методы оптимизации и, в частности, нелинейного программирования. Эти задачи относятся к классу задач многомерной оптимизации при ограничениях. К сожалению, в настоящий момент не существует эффективных численных методов для решения подобных задач в случае, когда число ограничений m многократно превосходит число варьируемых параметров n. Цель: разработать новые методы и алгоритмы для решения задач многопараметрической оптимизации при ограничениях. Результаты: разработан новый метод нелинейного программирования, который назван «метод многомерных оболочек». Этот метод позволяет решать задачи условной многопараметрической оптимизации для случая n << m. Он использует как необходимые, так и достаточные условия оптимальности для целевых функций, имеющих вид метрик. Показано, что если единственный минимум (максимум) метрики находится вне области допустимых значений, образованной ограничениями, тогда решение задачи будет находиться на границе области допустимых решений. Тогда задача может иметь несколько решений, которые будут соответствовать одинаковым минимальным (максимальным) значениям целевой функции, и все эти решения могут быть получены с помощью метода многомерных оболочек. Основой данного метода является построение области допустимых решений путем анализа ограничений произвольного вида и их аппроксимации кусочно-полиномиальными ограничениями или рациональными дробями, что позволяет свести исходную задачу к набору взаимосвязанных подзадач с линейными ограничениями, формирующими выпуклые многомерные оболочки, что существенно сужает область поиска. Практическая значимость: предложенный метод нелинейного программирования апробирован и найдет применение при решении задач условной оптимизации в областях физической метрологии, оптимальных систем управления и логико-интервальных систем. Данный алгоритм может быть улучшен путем разработки более эффективных алгоритмов для новых типов ограничений.