Три новых размерности циклических пар Лежандра
Ключевые слова:
Матрицы Адамара, периодические автокорреляционные функции, пары Лежандра, циклические матрицы, бициклические конструкцииАннотация
Введение: Согласно гипотезе циклические пары Лежандра нечетной длины >1 всегда существуют. Такая пара состоит из двух функций a, b: G→Z, принимающих значения +1 or −1, и чья периодические автокорреляционная функция принимает постоянное значение −2 (исключая начальную точку). Здесь G – конечная циклическая группа, Z – кольцо целых чисел. Эти условия являются фундаментальными и тесно связаны со структурой бициклических матриц Адамара с двойной каймой недостаточно полно описанной в литературе, что делает ее исследование особенно актуальным. Цель: Дополнить описание бициклической конструкции с двойной каймой тремя новыми решениями пар Лежандра. Результаты: Для характеристики пар Лежандра мы используем подмножества X={x∈G: a(x)=–1} и Y={x∈G: b(x)=–1} из G. Есть 20 нечетных целых чисел v, меньших 200, для которых существование пар Лежандра длины v не доказано. Наименьшее из них – v=77. Мы построили пары Лежандра длиной 91, 93 и 123, сократив количество нерешенных случаев до 17. В последнем разделе статьи мы перечисляем некоторые примеры циклических пар Лежандра для длин v≤123. Практическая значимость: Матрицы Адамара широко используются в задачах помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Программы поиска матриц Адамара и библиотека построенных матриц используются в математической сети «mathscinet.ru» вместе с исполняемыми on-line алгоритмами
