Анализ устойчивости системы Лурье со скалярным запаздывающим управлением и переключениями

Аннотация

Введение: для обеспечения устойчивости линейных систем с переключениями М. С. Браницкий (Branicky M. S.) предложил метод нахождения условий на закон переключений. Известно также, что наличие запаздываний может устойчивость нарушить. Целесообразно распространить этот метод на систему автоматического регулирования с нелинейным управлением, которое бы позволило задавать произвольные запаздывания при управлении или переключении. Цель: при произвольном фиксированном запаздывании в управлении получить ограничение на закон переключений, которое бы гарантировало устойчивость решения нелинейной системы, где подсистемы заданы уравнениями с линейными по состоянию правыми частями, а управление входит в систему в виде скалярной нелинейности с рациональным показателем, бόльшим единицы. Результаты: исследованы случаи как синхронных (одновременных для всех параметров системы), так и асинхронных переключений в связи с возникновением задержек при выработке управляющего воздействия, а также при поступлении информации о смене активной подсистемы. Для каждой из рассматриваемых систем построены составные функционалы Ляпунова — Красовского, позволившие найти условия на закон переключения, при которых решения являются локально асимптотически устойчивыми. Оказалось, что для этого достаточно выбирать моменты переключения так, чтобы длительность действия подсистемы неограниченно стремилась к бесконечности со временем. Показано, что в дискретном случае аналогичные условия также обеспечат устойчивость при достаточно малом шаге дискретизации. Проведено численное моделирование в случаях как синхронных, так и асинхронных переключений между непрерывными и дискретными подсистемами. Графики, представленные в данной работе, согласуются с теоретическими выводами.