Матрицы локального максимума детерминанта
Ключевые слова:
ортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Белевича, матрицы Мерсенна, матрицы Ферма, матрицы Эйлера, гипотеза АдамараАннотация
Постановка проблемы: основные обобщения матриц Адамара связывают с матрицами максимального детерми-
нанта или с не оптимальными по детерминанту матрицами с ортогональными столбцами; квазиортогональные матрицы
локального максимума детерминанта изучены недостаточно полно. Целью работы является обзор теории таких матриц
по результатам предварительных исследований. Методы: экстремальные решения ищутся минимизацией максимума
абсолютных значений элементов исследуемых матриц с последующей классификацией их по количеству и значениям
уровней, зависящих от порядков. Результаты: обосновывается предположение, что существует всего пять нетривиаль-
ных малоуровневых строго оптимальных матриц нечетных порядков, меньших 13. Выделены и описаны функциями
веса основные типы квазиортогональных матриц локального максимума детерминанта (М-матриц), включающие ма-
трицы Мерсенна, Ферма и Эйлера. Сформулировано предположение о существовании всех матриц Мерсенна нечетных
порядков. Рассмотрен вопрос существования матриц Мерсенна и Адамара. Приведен пример аппроксимации матри-
цы Адамара 668-го порядка блочным массивом с матрицами Вильямсона на основе матриц Мерсенна. Приведены
графики, описывающие зависимость детерминантов М-матриц от порядка. Практическая значимость: алгоритмы на-
хождения М-матриц использованы при построении исследовательского программного комплекса. Субоптимальные по
детерминанту матрицы составляют основу фильтров Мерсенна и Ферма, применяемых для сжатия и маскирования
изображений.
