Простые числа Ферма и гипотеза о матрицах максимального детерминанта
Ключевые слова:
определитель, максимальный определитель, D-оптимальные матрицы, квазиортогональные матрицы, матрицы Адамара, матрицы Мерсенна, матрицы Ферма, критские матрицыАннотация
Цель: решение задачи оптимизации определителей матриц с модулем элементов ≤ 1, разработка теории таких матриц на основе предварительных результатов исследования. Методы: экстремальные (по определителю матрицы) решения устанавливаются путем минимизации абсолютных значений элементов ортогональных матриц с последующей классификацией. Результаты: матрицы порядков, равных простым числам Ферма, являются особыми, так как их абсолютные максимумы детерминантов могут быть достигнуты на простой структуре. Дана точная оценка максимума детерминанта для этих матриц и сформулирована соответствующая гипотеза. Проанализирована тесная связь между решениями экстремальных задач с ограничением на ортогональность столбцов матриц и без него. Показано, что относительные максимумы определителей ортогональных матриц соответствуют абсолютным максимумам определителей матриц, не ограниченных ортогональностью. Рассмотрены способы построения экстремальных матричных семейств для порядков, равных числам Мерсенна. Практическая значимость: матрицы максимального детерминанта широко используются в задачах помехозащищенного кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Программы для поиска матриц максимальной детерминанты и библиотеки построенных матриц используются в математической сети «mathscinet.ru» вместе с исполняемыми онлайн-алгоритмами.
