Conference matrices from Legendre C-pairs

Аннотация

Введение: Существует несколько методов построения симметричных С-матриц, ввиду отсутствия для них универсальной структуры. Это ограничение принципиально, кроме того, в литературе неполно освещена структура С-матриц с парной каймой, что делает ее изучение особенно актуальным. Цель исследования: Детально описать бициклическую конструкцию с парной каймой с предложением концепции C-пар Лежандра. Результаты: Рассмотрены C-матрицы порядка n=2v+2 с парной каймой на основе адаптации так называемых обобщенных пар Лежандра нечетной длины v к более широкому случаю четных и нечетных значений v, что позволяет построить новые C-пары Лежандра в конечных абелевых группах G порядка v. Такая пара описывается двумя функциями a, b: G→Z, значения которых равны +1 или −1, за исключением a(e)=0, где e − единичный элемент группы G, через Z обозначено кольцо целых чисел. Для характеристики C-пар Лежандра введены два набора X={xÎG: a(x)=–1} и Y={xÎG: b(x)=–1} группы G. Показано, что a(x⁻¹)=(−1)^v a(x) для всех x. Для нечетных значений v отмечено, что X и Y образуют разностное семейство, что неприменимо к четным порядкам. Эти разностные семейства относятся в точности к так называемым разностным множествам Секереша, первоначально используемым для построения кососимметричных матриц Адамара. Введен подкласс специальных C-пар Лежандра и доказано, что они существуют для случаев, когда 2v+1 − степень простого числа. В последних двух разделах статьи приведены примеры специальных циклических C-пар Лежандра для размеров v<70. Практическая значимость: C-матрицы широко используются в задачах помехоустойчивого кодирования, сжатия и маскирования видеоинформации. Программы для поиска конференц-матриц и библиотеки построенных матриц используются в математической сети «mathscinet.ru» вместе с исполняемыми онлайн-алгоритмами.